Однородное уравнение переноса (1.1) не представляет большого интереса с точки зрения приложений, поскольку его решение устроено слишком просто. Добавление в правую часть этого уравнения источника \(Q\left(x,t\right)\), не зависящего от решения, оставляет уравнение линейным и существенно расширяет возможный круг его практического применения.
Неоднородное линейное уравнение
описанным ранее способом сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
где \(s\) - параметр, определяющий точку на характеристике; вводится как длина характеристики от точки пересечения ее с границей области на входном участке до требуемой точки, \({\rm\alpha }\)- идентификационный параметр характеристики в их однопараметрическом семействе.
Другое, важное обобщение уравнения (1.1), связано с введением в это уравнение нелинейности - зависимости скорости переноса от искомого решения:
В простейшем случае, когда \(c\left({\rm\phi }\right)={\rm\phi }\), это уравнение называется уравнением Хопфа и обычно записывается в виде:
Отличительной особенностью уравнения Хопфа является возможность возникновения в его решении т.н. «градиентной катастрофы». Поскольку угол наклона характеристик в нелинейном случае зависит от начальных условий, то даже при гладких начальных условиях характеристики могут пересекаться. Это приводит к потере однозначности решения. Например, если начальный профиль функции \({\rm\phi }(x,0)\) представляет собой «колокол» над нулевым фоном, то этот профиль будет двигаться вправо так, что передний фронт будет становиться более крутым, а задний - более пологим. При приближении к точке потери однозначности модуль градиента (тангенс угла наклона) решения устремляется к бесконечности, что и порождает градиентную катастрофу.
В месте пересечения характеристик возникает сильный разрыв, в окрестности которого дифференциальное уравнение (1.11) перестает быть корректным. Для описания решений с разрывами дифференциальное уравнение (1.11) преобразуют в интегральное уравнение, не содержащее производных. Для этого его приводят к т.н. «дивергентной форме»
и интегрируют по произвольной подобласти \(G_{*} \in G\).
Разрывная, вообще говоря, функция \(u\left(x,t\right)\), удовлетворяющая интегральному уравнению (1.12) для всех подобластей \(G*\) области \(G\) называется обобщенным решением дифференциального уравнения (1.11).
Более общее уравнение (1.10) также сводится к дивергентному представлению
позволяющему перейти к интегральной формулировке задачи, определяющей обобщенное решение уравнения (1.10) в классе разрывных функций. Величины \(F\left({\rm\phi }\right)\) называются потоками.