Лаборатория Индустриальной Математики - 2.13. Определение монотонности разностного оператора. Теорема Годунова

2.13. Определение монотонности разностного оператора. Теорема Годунова

Результаты расчетов переноса начального профиля в форме ступеньки по всем рассмотренным ранее схемам второго порядка аппроксимации демонстрируют появление в численном решении пилообразных структур, которые формируются либо спереди, либо сзади исходного профиля в зависимости от того, какой дисперсией обладает схема при заданном числе Куранта. Если дисперсия нормальная, то пила появляется сзади, если аномальная - то спереди.

Появление пилообразных структур является общим свойством всех схем второго порядка аппроксимации, в том числе и всех схем более высокого порядка. На это обстоятельство обратил внимание С.К. Годунов в 1959 году. С тех пор это утверждение носит название «теоремы Годунова».

Характерным признаком развития пилообразных структур является появление при переходе на новый слой по времени новых локальных экстремумов. Разностные схемы, не приводящие к возникновению новых локальных минимумов и максимумов, называются монотонными разностными схемами. В качестве примера обычно приводится схема первого порядка «уголок». Действительно, эту схему можно записать в виде:

$$u_{i}^{n+1} =r\cdot u_{i-1}^{n} +\left(1-r\right)u_{i}^{n} (2.55)$$

При числах Куранта $0 \le r \le 1$ это выражение представляет собой линейную интерполяцию, результат которой всегда находится в промежутке между $u_i^n$ и $u_{i-1}^{n}$. Таким образом, новые локальные экстремумы появиться не могут и схема «уголок» является монотонной.

Монотонность схемы «уголок» - самое большое ее достоинство, но у нее имеется существенный недостаток - неприемлемо большая для многих приложений схемная вязкость как следствие низкого порядка аппроксимации.

Можно построить достаточно обширный класс разностных схем, обладающих свойством монотонности. Это т.н. «позитивные» разностные схемы, которые могут быть приведены к виду

$$u_{i}^{n+1} =\sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} \cdot u_{i+k}^{n} ;{\rm\; \; \; \; \; \; }\sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} =1; {\rm\; \; \; \; \; \; \alpha }_{k} >0;{\rm\; \; \; \; \; }k\in \varpi (2.57)$$

где $\varpi$ - какой либо сеточный шаблон на слое $t_n$.

Все схемы вида (2.57) являются монотонными. Действительно, пусть $u^*$ является локальным максимумом на шаблоне $\varpi$. В этом случае можно записать цепочку неравенств:

$$u_{i}^{n+1} =\sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} \cdot u_{i+k}^{n} < \sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} \cdot u^{*} {\rm\; } {\rm =\; }u^{*} {\rm .}$$

Аналогично, если $u^*$является точкой локального минимума, то

$$u_{i}^{n+1} =\sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} \cdot u_{i+k}^{n} > \sum _{k\in \varpi }^{}{\rm\alpha }_{k} \cdot u_{*} {\rm\; } {\rm =\; }u_{*}$$

тем самым утверждение доказано.

Можно было бы надеяться на то, что в класс позитивных схем войдут и схемы более высокого порядка аппроксимации, например, второго. Однако «теорема Годунова» налагает на это запрет.

Доказывается теорема Годунова посредством построения контрпримера. Возьмем начальные данные в виде «параболы Годунова»:

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-x_{k} \right)\cdot \left(x-x_{k-1} \right)}{\left(x_{k} -x_{k-1} \right)} (2.58)$$

где $x_k$ и $x_k-1$- соседние узлы расчетной сетки и спроектируем ее на расчетную сетку:

$$u_{i}^{0} =\frac{\left(x_{i} -x_{k} \right)\cdot \left(x_{i} -x_{k-1} \right)}{\left(x_{k} -x_{k-1} \right)} (2.59)$$

Минимум параболы (2.58) достигается в точке $x^{*} =0.5\left(x_{k} +x_{k-1} \right)$ и равен $f\left(x^{*} \right)=-0.25\cdot h$, однако все $u_{i}^{0} \ge 0$, поскольку минимум параболы лежит в середине между соседними узлами. Выполним один расчетный шаг по времени с числом Куранта $r = 0.5$, используя какую либо схему второго порядка аппроксимации. В результате реализуется одна из двух следующих возможностей:

Схема демонстрирует свойство монотонности, и отрицательных значений в решении на новом временном слое не появится. В этом случае схема не является точной на частном решении $$\begin{array}{l} {f\left(x\right)=\frac{\left(x-ct-x_{k} \right)\cdot \left(x-ct-x_{k-1} \right)}{\left(x_{k} -x_{k-1} \right)} =} \\{=\frac{\left(x-ct\right)^{2} -\left(x-ct\right)\cdot \left(x_{k} +x_{k-1} \right)+x_{k} \cdot x_{k-1} }{\left(x_{k} -x_{k-1} \right)} } \end{array} (2.60)$$
поэтому условия (2.22) не выполняются, и схема не является схемой второго порядка аппроксимации, не говоря уже о более высоких порядках.
В узле $x_k$ появляется новый локальный минимум. Тогда схема немонотонна. Если величина этого минимума равна $u_{k}^{1} =-0.25\cdot h$, то схема имеет, по меньшей мере, второй порядок аппроксимации.

Несмотря на простоту доказательства, теорема С.К. Годунова имеет фундаментальное значение для всей вычислительной гидродинамики, налагая запрет на саму возможность существования монотонных алгоритмов высокого порядка аппроксимации.

В ставшей классической публикации 1959 года С.К. Годунов проиллюстрировал этот запрет на примере двухслойных линейных разностных схем, что привело к довольно широкому распространению мнения, что «запрет Годунова» можно обойти посредством включения в дискретные операторы различного рода нелинейностей. Изобретателям монотонных схем высокого порядка аппроксимации следует проверять их на параболе С.К. Годунова.

Возникновение пилообразных структур в решении уравнений гидродинамики для многих приложений неприемлемо, поэтому в вычислительной гидродинамике распространены различные приемы «монотонизации решений». Многие из них применяются локально, только в тех местах, где возможна генерация новых экстремумов. И это дает нужный эффект, повышая разрешающую способность схемы.Однако любая монотонизация, даже локальная, приводит к тому, что порядок аппроксимации схемы опускается до первого.

← Назад Далее →