Лаборатория Индустриальной Математики - 2.2. Некоторые свойства частных решений первых дифференциальных приближений

2.2. Некоторые свойства частных решений первых дифференциальных приближений

Разностный оператор приближает первое дифференциальное приближение с большей точностью, нежели исходное невозмущенное дифференциальное уравнение, поэтому можно ожидать, что решение разностного оператора будет наследовать свойства аналитического решения возмущенного дифференциального оператора. Дифференциальные приближения разностных операторов (2.3) имеют вид:

\frac{\partial u}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + μ \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + η \cdot \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} = 0; μ = c o n s t_{1}; η = c o n s t_{2} . (2.14)

Будем искать частное решение этого уравнения в виде бегущей волны:

u (x, t) = D \cdot \exp {i (ω t - k x)} (2.15)

Подставляя (2.15) в (2.14), приходим к дисперсионному соотношению

ω - c k - i \cdot μ \cdot k^{2} + η k^{3} = 0 (2.16)

связывающую круговую частоту $ω$ . Таким образом, частное решение уравнения (2.14) имеет вид:

u (x, t) = D \cdot \exp (μ \cdot k^{2} t) \cdot \exp {- i k [x - (c - η k^{2}) t]} (2.17)

Если $μ < 0$ , то амплитуда бегущей волны будет экспоненциально затухать со временем, причем тем быстрее, чем больше квадрат волнового числа. Если $μ > 0$ , то будет наблюдаться экспоненциальный рост.

Величину

γ (k) = \frac{R e (ω)}{c k} (2.18)

будем называть приведенной фазовой скоростью бегущей волны. Зависимость $γ$ называют дисперсией. Если $γ (k) < 1$ , то дисперсию называют нормальной, при $γ (k) > 1$ дисперсия является аномальной.

Проанализируем, каких свойств можно ожидать у решений рассмотренных ранее разностных схем, основываясь на их первых дифференциальных приближениях.

Схема	$μ$	$η$	Свойства решения
A	$0.5 c (c τ - h)$	$0$	Убывает при $τ < h / c$
B	$- 0.5 c h$	$0$	Всегда убывает
C	$0.5 c (h + c τ)$	$0$	Всегда возрастает
D	$0.5 c (h - c τ)$	$0$	Убывает при $τ > h / c$
E	$0$	$(c / 12) (h^{2} - 2 c^{2} τ^{2} - c h τ)$	Диссипативные свойства не определены
F	$(c^{2} / 2) τ$	$(c / 6) h^{2}$	Всегда возрастает
G	$0$	$(c / 6) (h^{2} - c^{2} τ^{2})$	Диссипативные свойства не определены

Схемы E и G не содержат в своем разложении вторых производных, поэтому для того, чтобы сделать вывод о том, будут амплитуды бегущих волн возрастать или затухать, необходимо привлекать более высокие члены разложения, содержащие четвертые производные. Легко видеть, что если P - форма дифференциального приближения содержит четные производные по пространству, то они оказывают влияние только на степень роста или затухания амплитуды бегущей волны. Действительно, из уравнения

\frac{\partial u}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + μ_{n} \cdot \frac{\partial^{2 n} u}{\partial x^{2 n}} = 0

следует, что $ω - c k - i {(- i)}^{2 n} μ_{k} k^{2 n} = 0$ и решение имеет вид

u (x, t) = D \cdot \exp {[{(- i)}^{2 n} μ_{k} k^{2 n}] t} \cdot \exp [i (ω t - k x)]

Члены разложения с нечетными производными

\frac{\partial u}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + η_{n} \cdot \frac{\partial^{2 n + 1} u}{\partial x^{2 n + 1}} = 0

вносят вклад в дисперсию бегущих волн

u (x, t) = D \cdot \exp {- i k [x - (c - \cdot η \cdot k^{2 n}) t]}

Если в разложении схемы G («крест») учесть четвертые производные, то можно показать, что частное решение в виде бегущей волны не будет возрастать при условии $τ < h / | c |$ .

← Назад Далее →