Разностный оператор приближает первое дифференциальное приближение с большей точностью, нежели исходное невозмущенное дифференциальное уравнение, поэтому можно ожидать, что решение разностного оператора будет наследовать свойства аналитического решения возмущенного дифференциального оператора. Дифференциальные приближения разностных операторов (2.3) имеют вид:
Будем искать частное решение этого уравнения в виде бегущей волны:
Подставляя (2.15) в (2.14), приходим к дисперсионному соотношению
связывающую круговую частоту \({\rm\omega }\). Таким образом, частное решение уравнения (2.14) имеет вид:
Если \({\rm\mu }<0\), то амплитуда бегущей волны будет экспоненциально затухать со временем, причем тем быстрее, чем больше квадрат волнового числа. Если \({\rm\mu }>0\), то будет наблюдаться экспоненциальный рост.
Величину
будем называть приведенной фазовой скоростью бегущей волны. Зависимость \({\rm\gamma }\) называют дисперсией. Если \({\rm\gamma }\left(k\right)<1\), то дисперсию называют нормальной, при \({\rm\gamma }\left(k\right)>1\) дисперсия является аномальной.
Проанализируем, каких свойств можно ожидать у решений рассмотренных ранее разностных схем, основываясь на их первых дифференциальных приближениях.
| Схема | \({\mu }\) | \({\eta }\) | Свойства решения |
| A | \(0.5 c (c\tau-h)\) | \(0\) | Убывает при \(\tau < h / c\) |
| B | \(-0.5 c h\) | \(0\) | Всегда убывает |
| C | \(0.5 c (h + c\tau)\) | \(0\) | Всегда возрастает |
| D | \(0.5 c (h-c\tau)\) | \(0\) | Убывает при \(\tau > h / c\) |
| E | \(0\) | \((c / 12) (h^2 -2c^2\tau^2-ch\tau)\) | Диссипативные свойства не определены |
| F | \((c^2 / 2) \tau\) | \((c / 6)h^2\) | Всегда возрастает |
| G | \(0\) | \((c / 6)(h^2-c^2\tau^2)\) | Диссипативные свойства не определены |
Схемы E и G не содержат в своем разложении вторых производных, поэтому для того, чтобы сделать вывод о том, будут амплитуды бегущих волн возрастать или затухать, необходимо привлекать более высокие члены разложения, содержащие четвертые производные. Легко видеть, что если P - форма дифференциального приближения содержит четные производные по пространству, то они оказывают влияние только на степень роста или затухания амплитуды бегущей волны. Действительно, из уравнения
следует, что \({\rm\omega }-ck-i\left(-i\right)^{2n} {\rm\mu }_{k} k^{2n} =0\)и решение имеет вид
Члены разложения с нечетными производными
вносят вклад в дисперсию бегущих волн
Если в разложении схемы G («крест») учесть четвертые производные, то можно показать, что частное решение в виде бегущей волны не будет возрастать при условии \({\rm\tau }<{h\mathord{\left/ {\vphantom {h \left|c\right|}} \right. } \left|c\right|}\).