2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Проблемы, возникающие при численном решении простейшего уравнения в частных производных (1.1), являются типичными для всего множества законов сохранения гиперболического типа.

Основная идея всех численных методов решения дифференциальных уравнений заключается в замене дифференциальных задач системами алгебраических уравнений большой размерности. Главным при этом является вопрос о сходимости решения алгебраической задачи к решению исходной дифференциальной задачи.

Численные методы интегрирования уравнений в частных производных часто делят на два больших класса: это спектральные методы и сеточные методы. Здесь мы будем рассматривать только сеточные методы.

Рассмотрим основные вопросы, возникающие при численном решении уравнений гиперболического типа на примере начально-краевой задачи для простейшего уравнения переноса:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial t} +c\cdot \frac{\partial u}{\partial x} =0,\; \; c=const>0;\; \; \left(x,t\right)\in G;} \\{u\left(x,0\right)={\rm\theta }\left(x\right);\; \; x\in \left[0,L\right];\; \; u\left(0,t\right)={\rm\psi }\left(t\right);\; \; t\in \left[0,T\right];} \end{array} (2.1)$$

В сеточных методах область решения дифференциальной задачи покрывается т.н. расчетной сеткой. В области $G:\left(x,t\right)\in \left[0,L\right]\times \left[0,T\right] $, представляющей собой прямоугольник, рассмотрим равномерную сетку $\varpi$ с узлами, пронумерованными целыми индексами $\left(i,n\right),i=1,...,N,n=1,...,M$, и координатами $x_{i} =\left(i-1\right)h,\; h={L\mathord{\left/ {\vphantom {L (N-1);}} \right. } (N-1);}$$t_{n} =\left(n-1\right){\rm\tau },\quad {\rm\tau }={T\mathord{\left/ {\vphantom {T (M-1).}} \right. } (M-1).}$

Искомое решение $u(x, t)$ представим в виде дискретного набора значений $u_{i}^{n} =u(x_{i} ,t_{n} )$ в узлах расчетной сетки. Задача ставится следующим образом: пусть заданы значения сеточной функции $u$на начальном (первом) слое по времени и левой границе области:

$$u_{i}^{1} ={\rm\theta }\left(x_{i} \right);i=1,...,N;{\rm\; \; \; \; \; \; }u_{1}^{n} ={\rm\psi }\left(t_{n} \right);\; n=1,...,M;$$

Необходимо найти значения функции в последующие моменты времени ${\rm\tau }$, $2{\rm\tau }$,... во всех узлах $\left(i=2,...,N\right)$сетки.

Построение дискретных аналогов дифференциальной задачи (2.1) можно осуществить различными способами. Остановимся на трех наиболее распространенных в учебной литературе способах: методе конечных разностей, методе неопределенных коэффициентов и методе обратной характеристики.

← Назад Далее →