← Назад Далее →

1.4. Матричная форма уравнений, условие гиперболичности

Из дивергентной формы уравнений механики сплошных сред (1.15) можно получить матричную, или т.н. «простую форму» этих уравнений:

$$\frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial t} +A\cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; }A=\left\{a_{i,j} \right\};{\rm\; \; \; \; }a_{i,l} =\frac{\partial F_{i} }{\partial {\rm\phi }_{j} } ; (1.19)$$

в некотором смысле более близкую к уравнению (1.1). В частном случае, когда матрица A является диагональной, т.е. \(\left\{a_{i,j} \right\}=\left\{{\rm\lambda }_{i} {\rm\delta }_{i,j} \right\}\), где все \({\rm\lambda }_{i}\) действительные числа, матричная система уравнений (1.19) распадается на независимые уравнения переноса с характерными скоростями \({\rm\lambda }_{i} ={\rm\lambda }_{i} \left(\vec{{\rm\phi }}\right)\)

$$\frac{\partial {\rm\phi }_{i} }{\partial t} +{\rm\lambda }_{i} \cdot \frac{\partial {\rm\phi }_{i} }{\partial x} =0;{\rm\; \; \; }i=1,...,m$$

Система уравнений (1.15) называется гиперболической, если все собственные значения матрицы \(A\) в (1.19) являются действительными числами.

Покажем, что система уравнений мелкой воды является гиперболической.

Закон сохранения массы можно представить в виде:

$$\frac{\partial H}{\partial t} +\cdot \frac{\partial F_{H} }{\partial x} =0;\; \Rightarrow \; \frac{\partial H}{\partial t} +\cdot \frac{\partial Hu}{\partial x} =0;\; \Rightarrow \; \frac{\partial H}{\partial t} +u\cdot \frac{\partial H}{\partial x} +H\frac{\partial u}{\partial x} =0;$$

Закон сохранения импульса представим как:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial Hu}{\partial t} +\cdot \frac{\partial F_{Hu} }{\partial x} =0;{\rm\; \; }\Rightarrow {\rm\; \; }\frac{\partial Hu}{\partial t} {\rm +\; }\frac{\partial Hu^{2} }{\partial x} +\frac{g}{2} \cdot \frac{\partial H^{2} }{\partial x} =0;{\rm\; \; }\Rightarrow {\rm\; \; }} \\{\Rightarrow u\cdot \left(\frac{\partial H}{\partial t} +\frac{\partial Hu}{\partial x} \right)+H\left(\frac{\partial u}{\partial t} +u\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +g\frac{\partial H}{\partial x} \right)=0;} \end{array}$$

Первое выражение в круглых скобках равно нулю в силу закона сохранения массы. Таким образом, уравнения мелкой воды можно записать в «простой форме»:

$$\frac{\partial H}{\partial t} +u\cdot \frac{\partial H}{\partial x} +H\frac{\partial u}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; \; }\frac{\partial u}{\partial t} +u\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +g\frac{\partial H}{\partial x} =0;$$

В матричной форме записи эти уравнения будут иметь вид:

$$\frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial t} +A\cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial x} =0;\; \; \vec{{\rm\phi }}=\left(h,u\right)^{T} ;\; \; A=\left(\begin{array}{cc} {u} & {H} \\{g} & {u} \end{array}\right) (1.20)$$

Собственные числа матрицы A:

$$\begin{array}{l} {\left\| A-{\rm\lambda }E\right\| =\left\| \begin{array}{cc} {u-{\rm\lambda }} & {H} \\{g} & {u-{\rm\lambda }} \end{array}\right\| =\left(u-{\rm\lambda }\right)^{2} -gH=0;{\rm\; \; }\Rightarrow } \\{\Rightarrow {\rm\lambda }_{1} =u+\sqrt{gH;} {\rm\; }\quad {\rm\lambda }_{2} =u-\sqrt{gH;} } \end{array}$$

являются действительными числами - система уравнений мелкой воды гиперболична.

Вывод матричной формы представления для уравнений Эйлера требует большего объема алгебраических выкладок.

В качестве вектора \(\vec{{\rm\phi }}\) обычно используют набор переменных \(\left({\rm\rho },u,P\right)\). Первое уравнение (закон сохранения массы) системы (1.17) представляется в виде:

$$\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial t} +u\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} +{\rm\rho }\frac{\partial u}{\partial x} =0 (1.21)$$

Второе уравнение системы (1.17) с учетом первого записывается как:

$$\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{1}{{\rm\rho }} \cdot \frac{\partial P}{\partial x} =0 (1.22)$$

Третье уравнение преобразуется в несколько этапов. На первом этапе, с учетом уравнения сохранения массы, получаем:

$$\frac{\partial E}{\partial t} +u\frac{\partial E}{\partial x} +\frac{1}{{\rm\rho }} \cdot \frac{\partial Pu}{\partial x} =0 (1.23)$$

Далее, учитывая, (1.22) и то, что \(E=0.5\cdot u^{2} +e\). u² + eприходим к уравнению баланса удельной внутренней энергии:

$$\frac{\partial e}{\partial t} +u\frac{\partial e}{\partial x} +\frac{P}{{\rm\rho }} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} =0 (1.24)$$

Для получения эволюционного равнения на давление используется уравнение состояния \(P=P\left({\rm\rho },e\right)\):

$$\frac{\partial P}{\partial t} =\frac{\partial P}{\partial {\rm\rho }} \cdot \frac{\partial {\rm\rho }}{\partial t} +\frac{\partial P}{\partial e} \cdot \frac{\partial e}{\partial t} (1.25)$$

Подставляя в правую часть этой формулы производные по времени из (1.21) и (1.24), приходим к цепочке преобразований:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial P}{\partial t} =-\frac{\partial P}{\partial {\rm\rho }} \cdot \left(u\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} +{\rm\rho }\frac{\partial u}{\partial x} \right)-\frac{\partial P}{\partial e} \cdot \left(u\frac{\partial e}{\partial x} +\frac{P}{{\rm\rho }} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \right)=} \\{=-u\left(\frac{\partial P}{\partial {\rm\rho }} \cdot \frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} +\frac{\partial P}{\partial e} \cdot \frac{\partial e}{\partial x} \right)-{\rm\rho }\left(\frac{\partial P}{\partial {\rm\rho }} +\frac{\partial P}{\partial e} \cdot \frac{P}{{\rm\rho }^{2} } \right)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} =} \\{=-u\frac{\partial P}{\partial x} -{\rm\rho }c^{2} \frac{\partial u}{\partial x} ;} \end{array}$$

где \(c=\sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial {\rm\rho }} +\frac{\partial P}{\partial e} \cdot \frac{P}{{\rm\rho }^{2} } \right)}\) - скорость звука

«Простая форма» уравнений газовой динамики принимает окончательный вид:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial t} +u\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} +{\rm\rho }\frac{\partial u}{\partial x} =0;{\rm\; \; }\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{1}{{\rm\rho }} \cdot \frac{\partial P}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; }} \\{\frac{\partial P}{\partial t} +u\frac{\partial P}{\partial x} +{\rm\rho }c^{2} \frac{\partial u}{\partial x} =0;} \end{array}$$

или, в матричной форме записи:

$$\frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial t} +A\cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; \; }\vec{{\rm\phi }}=\left({\rm\rho },u,P\right)^{T} ;{\rm\; \; \; \; }A=\left(\begin{array}{ccc} {u} & {{\rm\rho }} & {0} \\{0} & {u} & {{\rm\rho }^{-1} } \\{0} & {{\rm\rho }c^{2} } & {u} \end{array}\right)$$

Найдем собственные числа матрицы A

$$\begin{array}{l} {\left\| A-{\rm\lambda }E\right\| =\left\| \begin{array}{ccc} {u-{\rm\lambda }} & {{\rm\rho }} & {0} \\{0} & {u-{\rm\lambda }} & {{\rm\rho }^{-1} } \\{0} & {{\rm\rho }c^{2} } & {u-{\rm\lambda }} \end{array}\right\| =\left(u-{\rm\lambda }\right)\cdot \left[\left(u-{\rm\lambda }\right)^{2} -c^{2} \right]=0;{\rm\; \; }\Rightarrow } \\{\Rightarrow {\rm\lambda }_{1,2} =u\pm c,{\rm\lambda }_{3} =u;} \end{array}$$

Таким образом, все собственные числа действительны и система уравнений Эйлера является гиперболической.

← Назад Далее →